建構與教學 Constructivism and Teaching
第八期 中部地區科學教育簡訊
發行:國立彰化師範大學科學教育研究所 科學教育中心 生物學系/ 主編:黃世傑/ 第八期
主編按：本文摘自〝八十五年度「數學教育─學門資源整合規劃修訂」研究報告〞的一部分，在其原報告中主要內容含五章，第一章是〝數學教育研究的關鍵性議題與發展趨勢〞，本文即是摘自該章中的第二節〝數學教育的全民化〞。原報告內容豐富，而且論述精彩，欲詳知全文風貌，請逕行與邱守榕教授聯繫。
數學教育的全民化
邱守榕 國立彰化師範大學數學系
普及數學教育，讓更多人獲得學數學的機會，學到好的數學，同時獲得高階思考的能力，遲至八十年代，才由文明國家先進人士明確的提出。
自從先進國家的政府，在本世紀初普遍設立公立小學，把實施義務教育作為民主開明的政策，到了二次大戰後，再將義務教育提高至初級中學，數學就與語文同時設為必修的科目。數學教育在基礎教育中的地位與重要性，似乎是無庸爭取的。
然而，也許是由於數學教育普及化的理想是奠立在義務教育的現實措施之上，而義務教育又多是在國家民主化的政策下，倉卒成軍，為養成中、小學教師而設置的公費師範教育，在擴充期多未能質、量兼顧，只求有足量的教師，而無暇顧及教學知能的培育，以致於中、小學生在課業上常未能得到起碼的教導與啟發，這個情況連心理學大師皮亞傑都不以為然，且為文仔細分析。數學科尤其如此，且常以與日常禮儀教養無關為理由而略過。世人對數學表現出的恐懼與排斥，不是沒有來由的。如何安排友善的環境供孩子學習數學，以驅除數學恐懼感且化解排斥感，是教育改革首要的工作。
事實上，今人所習以為常的中小學數學課程，不論東方或西方，都源自於西歐的工業革命，如同所有的現代科目，語文、科學、史地、藝術與體育一樣，兩百年來保持著同樣的標準形態與結構。不但早先數學課程只是為少數菁英設置的，本世紀六十年代的全球性新數學課程發展運動，亦以培養科學家為目的，並未改變這個本質。全民數學(Math for all)的運動，則是在數學教育菁英主義的內在績效受到質疑，而數學文化又瀕臨危機時被提出來的。
有識者以為：數學應當是由於具有應用性，具有通識性，而不只是為它的本身，才成為學校的科目。但是，全民數學的理念並不能解答已存在的數學教育問題，反倒在引發人們思考數學教育的宗旨，且對習焉不察的數學教育措施，作一根本的質疑。為此，全民數學的理念反倒揭示了原先為人所疏忽的重大的教育問題，讓人質疑何以制式的課程未能達成既定的目標？ ICMI 課程研究小組慎重地討論了是否可能用能力分化(對象為學生)與課程分化(對象為教材教法)的方式，讓每一個學生，尤其是學習機會受到褫奪的人，重獲學數學的興趣、信心與能力，但同時也預見了社會上假性公平的論調將成為推動理性改革的礙腳石，技術層面的問題則有待實證性的教學研究加以澄清。在識破了學校教學中的隱藏性課程(Hidden Curriculum) 之後，此研究所勾勒出的課程發展三步曲又進一步地描繪了學校中數學教學陽奉陰違，有名無實的現象，隨而，關聯到教師之不才與無知的原因，以及檢討與改進師資教育品質的問題。
全民數學運動的基本理念，應看作與科學全民化(Science for all)的相同，即辦學的人必須盡力為所有的學生佈置或配備有利於學習數學及科學的環境。不少學生學不會，沒有興趣，也沒有信心，這是事實，但是，錯不在學生。在學生身上貼上問題的標籤，把學生看成教育問題的難點，就是所謂缺陷模式的哲學(Deficient-model philosophy)，以學生的缺陷為藉口，既推卸教學不力的責任，又迴避教育普及的宗旨，是普及教育的公敵。
為了推動全民化運動，除了應考察不同文化間的差異與多元性外，還應有系統地探討：
•相關於族群、文化，與數理科學習的認知因素與情意因素
•有利於學科學習的課堂環境
•教師的知識，情意特徵，教學法與課程
對於第一項，須與本土化及日常認知的問題關聯；對於第二項，須肯定合作學習教學法的效能與潛力；第三項則與師資教育的內容攸關。至於會導致種族岐視的學習評量，應視為全民數學之患，加以防範或解構。教育人員如何以學生已有的知識與技能為基礎，助其理解學科中的原理、律則等等，助其作批判思考，助其開發價值觀，以作抉擇，等等科學全民化的課題，，皆宜納入全民數學的考慮之列。
國際數學教學促進會(ICMI)，將數學教育普及的工作，列為八十年代重點調查的一個問題領域，組成專案委員會，進行調查且撰成討論議案，於一九八九年九月在英國里茲召開全球性的大會，八十餘位來自二十餘國人士應邀赴會，共同討論：如何經由特殊媒體，如電視、電影、收音機、遊戲、謎題、競賽、等等，來傳播數學；規模之大，前所未有。大會雖未能識別：為什麼要普及數學教育？為誰普及？如何普及？普及什麼？等等，理論層面的問題，但在實務人員精心佈置的兩千平方公尺的展覽會場中，輔導員引領社會人士參觀或實作，不論是七歲的兒童或成年人，都熱情地參與數學活動，流露出對數學愛好的真情。此一調查與實作，彰顯了佈置學習環境的重要性，與認知導學心理學家對情境學習(Situated
Learning)做基礎性的探求，有相同的結果，可謂殊途同歸。
爭取學習機會均等(Equity
Issues)是數學全民化的首要工作。不可諱言的是，長期以來，數學教學並未針對大部份人的需要改變策略，社會上一般人的數學能力，未得到發展的機會；學校中開設的數學課，常常反而成為壓抑思考、貶抑人格的工具，相對的說，少數數學成績優良的學生，也並未獲得數學教育目標中所列的高層次思考及解實際問題的能力，更未能欣賞數學的美。整體而言，「學習數學的機會」是一個有待澄清的概念，其操作型的定義有待建構。一方面，我們需要思考，如何恢復一般人的學習信心，使機會不均等的現象，漸形改善；使數學教育淪為「壓迫人民、剝削社會」黑手的惡名，得到洗雪。另一方面，我們也要反省，如何讓數學教育的品質，隨著學習機會的普及而提升，如何預防各級學校在普及的招牌下，以“基本教材”的精熟為目的(如回歸基本
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Basics)厲行反覆練習教學法，或怪罪普及將損害中上程度學生的權益。下列兩項教學實驗，值得借鏡。
經由數學進行思考 ( TTM，Thinking Through Mathematics) 是一宗勇於推動全民數學理想的教學改進研究專題，由於得到美國科學基金會的一筆巨額的經費，而得以進行佈題與解題為主的教學實驗，長達五年。在確認數學教育改革的核心問題是數學的全民化問題之後，研究小組經由實驗教學探討如何教導所有的學生，而不只是少數學生，經由數學課題作思考，成為能思考的人。他們認為，這個工作倘若順利，才能讓中學課程中「思考的地位」這個概念，得以存在。思考不應只視為一種特殊的、隔離的，最後才可獲得的技能，而必須成為所有兒童，所有科目，最基本的課堂活動中的實質教材。
此一研究計畫，已讓世人在討論與實例中看到，很多數學教師已在他們的課堂中讓「思考的地位」這個新概念成為實有的事件，以及教師們怎麼使甚為平常的生活動靜，成為可提供學生思考的境界。除了使用開放性的思考問題外，此計畫注意到數學的社會層面，數學應用的本質，猜想的地位，數學概念的溝通，與合作思考的重要性。
TTM 在綜合認知科學的研究與實際的課堂措施中，將研究重點放在開發更強有力的途徑與策略來聯繫「思考」與數學，用以改進數學的「教」與「學」，且藉此說明：
•什麼是「學數學」，「做數學」的新立場？
•如何經由探索活動，將這些立場併入中學數學課程中？
所探討的是：為了思考，必須如何帶領學童沈浸在特定的數學知識中。由於思考活動不是在獲得課程內容的知能之後才出現的，而是在成功的學習過程中整體的一部份，因此課程內容須能挑動思考的靈感，即使在最不起眼、最基本的課堂情境中，亦可啟發思考的泉源。TTM
證實了在佈題與解題的情境下發展出來的思考能力與數學能力，確是數學全民化的理想所追求的實質，而這樣的思考，賦有高層次思考所有的特質。亦即數學教育的品質，有可能在普及中提高，不致落入反對者的口實，以品質低落之虞為藉口，阻擾全民數學。
數學教育機會均等是數學全民化運動所爭取的，識者認為要使全民蒙受真數學之利，解除假數學之害，必須為所有沒有發言權或學習權利受到褫奪的人，爭取學習機會，同時向教育系統挑戰：聲討教室中不公不義的社會型態。
在這個理念的指引下，美國加州柏克萊大學勞倫斯科學教育中心的平等計畫(EQUALS)先針對女學生與少數族群「數學失學」的情況，設想補救的學程，也因此而注意到家庭這個社會單元對數學學習產生的或正或負的助力或牽制，在參與研究的在職教師的要求下，開始編製可以讓家長在家中幫助孩子學數學的活動，且組成了一個新的專題計畫，親子數學(Family Math)。研究小組不但編成一本含有十大領域的數學活動集錦，且辦理實作研習班，輔導父母、教師在親手操作的活動中，使用日常生活材料，幫助孩子發展數學解題的技巧，且在成功的解題經驗中建立數學理解力。.
在教學與推廣中，此一計畫驗証了：數學理解力、自信與鼓勵是相輔相生的，高層次思考在數學活動中自然產生。營造友善、有內容、可供孩子親身體驗解題過程與成功滋味的學習環境，是每一個熱心和善，不畏懼數學的人都可做到的。這就是數學教育中的情意問題，在本段最後談。
研究小組已將其理念與研習方式推廣到世界各國。親子數學一書已譯成西班牙文、瑞典文、俄文；中譯本已於1995年初問世，親子數學研習班在國內已辦過十餘梯次，研習人員已過五百，其中，為人父母者超過一百。最近，主婦聯盟的媽媽們與美方聯絡，在台籌設親子數學中心，冀望熱心的家長們，陪同孩子在活動中學數學，破除數學迷信。「數學信仰」也是情意的表現。
在親子數學活動中，可以彙整學習者與教學者的基本資料、建立教學過程檔案、探察學習機制與規律、識別促進學習及改進教學策略的條件，……。此等工作皆為數學認知與學習研究的要項，與其相關的情意問題皆值得投入。
不少人擔心教育機會的普及與平等會使教育的品質降低，似乎學校教育已證實了這件事情。幸好不是所有的教育人員都持這個看法，仍然對教育改革以及整體教學品質的提升抱著希望，美國哈佛大學的 H.Gardner就是代表，在《超越教化的心靈》一書中，他提出以追求理解為主軸的全民教育改革方案，且說明教育的品質不可能在犧牲多數人的情況下得到提昇(陳瓊森譯)。
如果「整體地經由學校教學，提高全民的數學水平」不是空想，首先必須正視原先已存在課堂中學生之間社會地位的不平等，另一方面則要相信同儕間的合作，將使每個學生得到最大的利益，學習成果愈來愈豐富，學習品質愈來愈提昇。下一段即將說明可促使學生在合作中學習的教學研究。
合作學習不是一蹴即成的。合作學習法的主調在安排好的分組活動中教導學生互助合作，分擔責任，擲取知識。「設計且安排分組活動」，事實上是合作學習教學法的核心工作。
由美史坦福大學 M.Cohen領銜，運用社會學的原理，有系統地經由實驗教學，試探如何讓分組活動取代口頭講解的教學法，成為課堂教學的新策略，不但證實了合作學習的可行性與功效，也提出了複雜教學法(Complex Instruction)，以進階的程序說明：如何在異質性的班級中，分派學生扮演有利於社會互動的不同角色，在磋商與討論中學習解題的技能。培養學生發展高層次思考的技能與態度，是合作學習教學法的宗旨，在研究中已可看出成效，也就是說，此一實證性的專題研究顯示，只要設計周全，不同程度的學生均可以在能力混合的班級中發展高階技能。
Johnson 兄弟(1991,1994)七十年代就開始進行合作學習的研究，且為中小學教師編了一本合作學習的教案，又對合作性、競爭性與個別化的教學法作了比較。Slavin 在合作學習理念之上提出小組加速教學法(TAI, Team Accelerated Instruction)及小組協力教學法(TAI, Team Assisted Instruction)，對普通生及學習障礙的學生進行教學實驗。高層次思考是合作學習教學法最為強調的學習目標，為了伸張這個理念，Davidson 與 Worsham 合編了論文集《經由合作學習促進思考》，對合作學習環境、世界觀、社交技能、在爭議性的議題上建構、批判性思考、寫作等等作了聯繫。
合作學習小組教學法並非人人叫好，批判性的觀點也應加以注意，最根本的作法，應當是在師資培育中提供教師(包括在職與職前)親身體驗合作學習成效的機會，如此才可期待數學全民化的品質。Good,
Mulryan 與 McCaslin
三人呼吁數學教學研究者在小組教學實驗中，以程式化的觀點，探討小組成員互動的過程，注意其中的課業變因、教師與教學法的變因、個別學生與整組的變因等等，且建議在專題研究中，重新對“學生”和“教學背景”加以定義;至於當前亟待研究的，倒不在證實哪些方法有成效，而是在進行教學實驗時，識別合作學習的困難與障礙，提出所覺察到的問題，再加分析。
要推動全民數學，一定要正視女性長期以來普遍在學校課堂中受到歧視的情況，而提供特別的條件補償女學生恢復其學習的信心。普及學習機會與提高學習成就是一體兩面的事情，在《明日數學》論文彙編中，Poiani 以專業女數學家的身分指出，真正的能源危機，在忽略女性對數學的貢獻，Schafer 把女學生在美國受到歧視的情況，以及學術專業團體為改進不平等情況所做的努力，做了簡報，也說明婦女在理工科的代表權低落是全美國的重大問題，呼籲執政者應設專案與經費，優先考察、理解，以扭轉此一現象。
除了上述 Kreinberg在加州大學柏克萊校區的勞倫斯科學中心為女學生爭取學數學及自然科學的機會外，Tobias則由於偶然間得悉女社會學家 L. Sells對該校區女學生數學失學的現象所作的調查，而對自己學數學的壞經驗以及隨後演變出的逃避數學的態度作了省思，繼而撰寫了一本《克服數學焦慮》的專書，以日常問題中常用到的數學為例，指引成人如何重新學習好的數學，且在學習中思考下一代，包括女性，數學教育的問題。
經過很多人的奔走、遊說與推動，ICMI 才於 1984 年正式成立「婦女與數學教育國際組織」，International Organization of Women and Mathematics Education，簡稱 IOWME，以引起世人注意女性在數學學習方面受歧視的現象，且以國際合作的方式，探討改進的策略。
Fennema與Leder(將數學與性別領域的論述做了彙編，Leder將數學教育研究中有關性別的議題，作了更廣泛的綜合性分析與評論，不但包含歷史背景，也對相關術語的使用問題作了比較，值得研究者參考。
在性別差異現象中，可看到顯著的態度差異，後者屬於情意問題，將在下段中討論。
我們認識到：由於教育人員片面地執著於數學的邏輯性與符號思考的必要性，忽略了數學知識發展中人的因素，亦即人的主觀意願對數學知識發展的影響，誤將必要性認作充分性，才致使社會人士普遍誤解數學，因受到不必要的挫折，而喪失學習數學的信心，因逃避或排斥而錯過學習數學的機會，造成人力資源的浪費。如何對抗數學恐懼症？這個疑問近年來經過實作分析已發展為基礎研究的課題。
情意問題最初是在分析數學解題行為時識別出來的。解題者調遣知識、追憶知識、評估知識是否有使用的價值，如何使用已知推測未知等等，皆與情意有關，Schoenfeld指出在認知因素之外，控制力(control)與數學信仰(mathematical belief)是影響解題成敗的情意因素。McLeod 與 Adams對數學解題中的情意因素的研究作了有系統的彙編，之後又對數學教育中情意領域中的研究文獻做了概念化的總覽。
學習障礙(Learning
Disabilities)的研究，已確認大多數人對數學表現出的退縮態度，是從學校中學來的，這類現象稱為「習得的無助感(Learned
Helplessness)」。若要推動全民數學，必先消除學校造成的學習困難(陳瓊森譯,民84)且要識別數學學習過程中的情意因素，而設法改變教學策略。以上簡介的全民數學專題計畫TTM與FM，皆已整體考量此類因素產生的作用及應變策略。
